18 kwietnia 2015

Aproksymacja funkcji szeregiem Fouriera

Analiza Fouriera pozwala na przedstawienie dowolnego przebiegu okresowego za pomocą sumy (nieskończonej liczby) drgań harmonicznych. W przypadku rzeczywistym ilość tych harmonicznych nie jest nieskończona. Ostateczna jakość przebiegu wyjściowego zależy od ilości harmonicznych. Zależność dokładności aproksymacji od ilości harmonicznych zostanie przedstawiona w doświadczeniu, w którym wybrano fale: prostokątną, trójkątną oraz piłokształtną.

Wzory do aproksymacji:

  • Prostokąt
      f(t) = \frac{4A}{\pi}(\sin \omega_0 t +\frac{\sin 3 \omega_0 t}{3} +\frac{\sin 5 \omega_0 t}{5} +\cdots)
  • Piła
      f(t) = \frac{2A}{\pi}(\sin \omega_0 t -\frac{\sin 2 \omega_0 t}{2} +\frac{\sin 3 \omega_0 t}{3} -\cdots)
  • Trójkąt
      f(t) = \frac{8A}{\pi^2}(\sin \omega_0 t -\frac{\sin 3 \omega_0 t}{3^2} +\frac{\sin 5 \omega_0 t}{5^2} -\cdots)

Wyniki

Porównanie przebiegu idealnego i aproksymowanego

squ

saw

tri

Wykres błędu średniokwadratowego

mse

Wnioski

Celem doświadczenia było wykreślenie fali prostokątnej, trójkątnej, piłokształtnej w przypadku idealnym oraz aproksymowanym szeregami Fouriera. Następnie należało zbadać zmiany względem arbitralnie wybranego współczynnika – błędu średniokwadratowego (MSE) – wraz ze zmianą ilości harmonicznych w przebiegu aproksymowanym.

Testy wykazały, że przebieg idealny różni się od aproksymowanego. Najbardziej widoczne jest to w przypadku fali prostokątnej gdzie duże załamanie powoduje efekt Gibbsa. Mniejsze zniekształcenia są dla fali piłokształtnej a najmniejsze — trójkątnej.

Błąd średniokwadratowy jest skorelowany ze zniekształceniami — największy jest dla przebiegu prostokątnego (rzędu setek) a najmniejszy (rzędu pojedyńczych jedności) dla trójkątnego.

Kody źródłowe

TrackBack

TrackBack URL dla tej wiadomości:
https://blog.kkthx.pl/2015/04/aproksymacja-funkcji-szeregiem-fouriera/trackback/

Napisz komentarz